Focus op algebra!
Als je tegenwoordig een middelbaar wiskunde schoolboek openslaat, dan staat er altijd wel wiskunde som waar context aan te pas komt. Wat is de waarde van deze context in de wiskunde? Zijn we niet te ver doorgeschoten van een tekort aan context naar een overdaad aan context? Ik merk, dat leerlingen te sterk gefocust zijn op de context. Hierdoor kunnen ze deze soms niet meer loslaten, terwijl dat juist nodig is om verder te komen in de wiskunde en vooral in de algebra.
Jullie hebben in een ver verleden, of in een iets minder ver verleden zelf algebraonderwijs gehad. Een grote kans dat dit destijds minder contextrijk was dan vandaag der dag. De rijkheid aan context kan er aan bijdragen, dat leerlingen de wiskunde leuker vinden, de algebra makkelijker tot zich kunnen nemen en meer houvast hebben bij problemen. Ik vraag mijzelf dan af, wat ik de leerlingen van algebra wil leren, welke algebraïsche vaardigheden ik hen bij wil brengen en wat het nut er van is.
Mijn vakdoel als docent
Ik wil zelf het liefst, dat mijn leerlingen wiskunde ervaren, maar dat is niet voor iedereen weggelegd. Ik wil uiteindelijk dat alle leerlingen wat aan mijn lessen hebben gehad. Wat voor een groot deel van de leerlingen betekent, dat ik ze heb meegeholpen om te slagen voor hun wiskunde eindexamen. Mijn focus ligt daarom op dicht bij de methode van het boek te blijven. Daarbij probeer ik leuke en interessante zijwegen in te slaan (waar dit mogelijk is). Dit laatste is waar ik dieper of breder de wiskunde in kan met mijn leerlingen. Hierdoor zal een deel van de leerlingen ervaren hoe breed, leuk, nuttig en/of interessant wiskunde is.
Algebra en context
Wat is het nut van de context die bij algebra komt kijken? Context kan op verschillende manieren een doel hebben bij de algebra. Om hier iets zinnigs over te kunnen zeggen, zal ik eerst nog kort toelichten wat algebra op de middelbare school inhoudt, wat de vier manieren zijn die bij algebra komen kijken en op welke wijze deze manieren met elkaar in verband staan.
Algebra op de middelbare school gaat over verbanden tussen twee verschillende grootheden. Hier zijn lineaire vergelijkingen het sterkst vertegenwoordigd. Daarnaast komen er nog regelmatig parabolen voor en op kleine schaal zijn er ook nog andere verbanden die naar voren komen.
De vier manieren om een verband aan te geven
Het rekenen in de algebra gebeurt meestal met letters die voor die grootheden staan, welke verband met elkaar houden. Bij y=2x+3 is het verband, dat om de y te krijgen, de x met twee moet worden vermenigvuldigd en daar vervolgens drie bij op tellen. Of om de x te krijgen, je drie van de y af moet trekken en dit moet delen door 2. Dit verband is met een formule weergegeven.
De tweede manier kan je hetzelfde verband in een tabel weergeven, hierbij worden een aantal waarden voor de x getoond met bijbehorende waarden voor de y. Dit is hieronder in de tabel te zien.
x -1 0 1 2 3 4
y 1 3 5 7 9 12Manier drie is net als manier twee een erg visuele weergave. Dit is de grafiek. Hier worden de punten van de formule weergegeven door een lijn met een x-as en een y-as. Hier kunnen alle waarden uit worden afgelezen, die binnen het domein (de x-waarden) en het bereik (de y-waarden) van het assenstelsel liggen
De vierde en laatste manier van het weergeven van een verband is een situatie. Dat is vaak een ‘echte’ situatie die beschreven wordt waarin het verband naar voren komt zoals in het volgende voorbeeld. “Joost je neemt een taxi en vraagt aan een taxichauffeur wat het kost (de y). De chauffeur vertelt jou, dat het instaptarief drie euro is en voor elke gereden kilometer (de x) moet er twee euro worden betaald.” Het voordeel van een situatie is, dat een leerling het makkelijker begrijpt, omdat hij hier al meerdere malen mee in aanmerking is geweest, merkt dat wiskunde zich ook om hem heen begeeft en dus leuker vindt, of dat Joost houvast heeft aan de situatie als hij het even niet meer weet.
Deze vier manieren beschrijven hetzelfde verband en zijn in feite hetzelfde, maar verschillen slechts in de weergave hiervan. Je kunt deze situaties naar elkaar vertalen. Dan heb je de wiskundige weergaven (formule, tabel en grafiek) tegenover de niet wiskundige weergave (situatie). Blijf je bij het veranderen van weergave binnen de wiskunde of buiten de wiskunde, dan wordt dit verticaal mathematiseren genoemd. Ga je van binnen de wiskunde naar buiten de wiskunde of andersom, dan wordt dit horizontaal mathematiseren genoemd.
Beginnen met verbanden
Verbanden zijn een onderdeel van algebra. Ik probeer leerlingen algebra bij te brengen, door ze stap voor stap vanuit de praktijk de wiskunde in te drijven. Voor dat dit kan wil ik ze eerst in het wiskundige diepe gooien, door besef van variabelen te kweken. Ik wil de leerlingen bijbrengen dat een variabele een getal voorstelt, maar dat dit getal (nog) niet bekend is, of dat dit kan variëren. Het is heel raar voor leerlingen, dat iets meerdere getallen kan zijn. Vaak als de variabele a in een som 3 is denken ze, dat a in die andere som ook 3 is, terwijl dit niet zo hoeft te zijn. Het komt ook voor dat leerlingen het negeren, omdat ze het niet snappen. Dan wordt 3a x 2 + 1=.. gewoon 3 x 2 + 1=7 terwijl het 6a + 1 het juiste antwoord is.
Dit besef wil ik bijbrengen, door met het voorbeeld van de inktvleksommen te werken. Waarbij er een zogenaamde inktvlek over een getal in de som heen zit, maar waarbij het antwoord wel zichtbaar is. Hier moeten de leerlingen dan terug redeneren, welk getal er onder de inktvlek moet staan.
Van hier uit wil ik dit opbouwen naar het bordjes model. Waarbij er geen inktvlek is, maar een variabele op die plaats staat. Als we nu niet zo eenvoudig een bordje ergens om heen kunnen zetten, omdat er aan beide kanten van het is-teken variabelen zijn. Dan moet dit terug gebracht worden, door getallen naar de ene kant te halen en variabelen naar de andere kant. Dit doen we met behulp van de weegschaal methode (Welke in het begin nog een natuurgetrouwe weegschaal voor moet stellen en wat uiteindelijk een model wordt.). Dat komt er op neer, dat je aan de ene kant van het is-teken hetzelfde doet, als aan de andere kant. Tot slot wil ik, dat de leerlingen 3a=27 terug brengen naar a=9.
Hierna kunnen we een extra variabelen introduceren. Dan laten zien dat deze variabelen nu vaak meerdere waardes aan kunnen nemen om tot het juiste antwoord te komen, maar dat we nu willen weten hoeveel a, b is, of andersom. Nu willen we aan een kant een variabele en aan de andere kant de andere variabele plus een getal (als dat nodig is). Hiermee kunnen we dan aangeven, als we een a kiezen hoe groot de b dan moet zijn, of andersom. Dit door een waarde in te vullen en de andere met weegschaal- of bordjesmethode uit te rekenen. We kunnen dit dan uiteindelijk vergelijken met een realistische situatie. Zoals de taxirit van Joost.
In deze praktijkvoorbeelden beginnen we vaak met woordformules, hier stellen woorden de variabelen voor, zodat leerlingen meer houvast hebben aan de praktijk, bij het begrijpen van verbanden. Dit wordt ook wel realistische wiskunde genoemd, want dit zijn wiskundige problemen die zich om hen heen afspelen. Deze wiskunde is zeer contextrijk en heeft ook een sterke focus op de context. Hier moeten de antwoorden van de wiskunde uiteindelijk weer vertaald worden naar de context.
Aan de hand van het taxivoorbeeld zou de woordformule als volgt zijn: prijs (in euro’s) = 2 x Afstand (in km’s) + 3. Uiteindelijk willen we dat dit een letterformule wordt, zodat het sneller gaat, overzichtelijker wordt en de context enigszins losgelaten kan worden als dat nodig is. De letterformule wordt dan: p = 2a + 3.
De context (situatie) van de taxi kan dan als model dienen om een lineaire functie uit te leggen aan de leerlingen. In de onderbouw van havo/vwo en in het vmbo wordt hier erg lang mee doorgegaan en wordt hier nog te vaak aan teruggekoppeld. Op een gegeven moment moet het model niet meer nodig zijn en moet je een functie gaan zien als een soort verband tussen een x en een y. Waarbij je de x invult en er een y uitkrijgt. Op dat moment ga je de diepte in met wiskunde. Hier gaan ze de wiskunde ervaren en denken als een wiskundige. Precies op dat moment grijpen de schoolboeken weer terug naar de praktijk en willen ze, dat je praktijksituaties gaat oplossen met wiskundige berekeningen en deze weer terug vertaald naar de praktijk. Ik vind dat hier het algebraniveau stagneert, het wiskundig denken, vertalen van praktijk naar wiskunde en andersom hier alle aandacht krijgen met een slechts vleugje algebra. De context dient hier dan tevens om het nut van de wiskunde in het dagelijks- en beroepsleven te illustreren en daarmee antwoord te geven op de vraag:”Wat heb ik nou aan wiskunde?”. Dan is er nog een derde manier waar context wordt gebruikt. Dit is de manier door aan te sluiten bij de leefwereld van leerlingen en hen hiermee te enthousiasmeren voor de wiskunde, omdat er bijvoorbeeld het woord iPad in voor komt. In deze vorm heb je ook de mogelijkheid om bij te dragen aan de algemene ontwikkeling. In mijn eigen les heb ik een verhaal over de productie van iPads gekoppeld aan de slechte arbeidsomstandigheden in de fabriek waar deze geproduceerd werden en de loonsverhogingen van de werknemers met 100 procent.
Overdaad aan context
De context is geweldig om algebra aan te leren, leerlingen ermee te laten rekenen en enthousiasmeren, maar context kan ook remmend en beperkend werken. Net zoals aangeven in het taxirit voorbeeld. Het kan leerlingen op een verkeerd been zetten of voorzien van ruis om de stof heen. Wiskunde is te vaak gedrenkt in context, terwijl deze context weinig toevoegt en niet realistisch is. Hieronder een voorbeeld van een som uit getal en ruimte voor 3 vwo.
voorbeeld
Een minirad draait in een periode van 24 seconde een keer rond en een reuzenrad draait in een periode van 60 seconden een keer rond.
a) op t=0 stapt Annemarie in het reuzenrad en Floor in het minirad. Na hoeveel seconden zijn ze voor het eerst weer gelijk beneden?
b) Na hoeveel seconden zijn ze voor het eerst weer tegelijk beneden als het minirad een periode van 19 seconde heeft en het reuzenrad een periode van 45 seconde?
Als Floor en Annemarie in een reuzenrad en in een minirad gaan, dan zijn periodes een van de laatste dingen waar ze aan zullen denken, dat beseffen de leerlingen ook. Om deze vraag goed te kunnen beantwoorden moet je er vanuit gaan dat deze raden heel vaak ronddraaien, dat zullen de leerlingen niet altijd begrijpen. Dan gaan de raden in het b deel ineens van periode veranderen. Ze gaan dus sneller draaien. Wat heeft dat voor nut in de praktijk? Deze context biedt enige houvast aan het voorstellingsvermogen, maar het is niet realistisch.
Bij opgave a is een kans dat leerlingen denken dat een rad maar 1 rondje draait, dus dat ze na 60 seconden allebei weer beneden zijn, terwijl de opdracht doelt op, dat de raden door blijven draaien. Bij opgave b zal zich hetzelfde probleem voor kunnen doen.
Gelukkig zijn er ook nog sommen die geen context bevatten zoals hieronder wat ook uit getal en ruimte voor 3 vwo komt.
voorbeeld
Los op! 0,2x^7=400x^3
Focus verleggen omwille van verdieping!
Zoals uiteengezet hierboven is de context bij algebra erg handig voor het aanleren en het enthousiasmeren van de leerlingen, maar moet deze op een gegeven moment losgelaten worden. Dit is van belang om dieper in de stof te duiken en daadwerkelijk wiskundigen van onze jeugd te maken in plaats van jongeren die iets met wiskunde kunnen.
